Εύρεση Συνόλου Τιμών Συνάρτησης χωρίς Μονοτονία και Όρια

📚 Σύνολο Τιμών Συνάρτησης

Θεωρία | Μεθοδολογία (χωρίς μονοτονία και όρια) | Αναλυτικά Παραδείγματα | Ασκήσεις

📖 Τι είναι το Σύνολο Τιμών;

🔹 Ορισμός

Έστω μια συνάρτηση \( f: A \rightarrow \mathbb{R} \). Σύνολο τιμών της \( f \) ονομάζουμε το σύνολο όλων των τιμών \( f(x) \) που παίρνει η συνάρτηση, καθώς το \( x \) διατρέχει το πεδίο ορισμού \( A \).

Συμβολίζεται με \( f(A) \) και είναι:

\[ f(A) = \{ y \in \mathbb{R} \;|\; \text{υπάρχει } x \in A \text{ με } f(x) = y \} \]

💡 Σημαντική παρατήρηση

Το σύνολο τιμών είναι πάντα υποσύνολο του συνόλου άφιξης (συνήθως του \( \mathbb{R} \)), αλλά δεν ταυτίζεται αναγκαία με αυτό. Πολλές φορές είναι γνήσιο υποσύνολο.

Παράδειγμα: Η \( f(x) = x^2 \) έχει πεδίο ορισμού \( \mathbb{R} \), αλλά σύνολο τιμών \( [0, +\infty) \), δηλαδή μόνο τους μη αρνητικούς αριθμούς.

📌 Πώς θα το βρούμε χωρίς μονοτονία και όρια;

Η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια δεν απαιτεί γνώση μονοτονίας ή ορίων. Βασίζεται αποκλειστικά στην επίλυση της εξίσωσης \( y = f(x) \) ως προς \( x \) και στον έλεγχο των συνθηκών ύπαρξης πραγματικών ριζών.

📖 Μεθοδολογία Εύρεσης Συνόλου Τιμών

🔹 Βήματα Εύρεσης Συνόλου Τιμών \( f(A) \) (Χωρίς Μονοτονία - Όρια)

1. Εύρεση Πεδίου Ορισμού: Υπολογίζουμε πρώτα το πεδίο ορισμού \( A \) της συνάρτησης.
2. Εξίσωση με \( y \): Θέτουμε \( y = f(x) \) και λύνουμε τη σχέση που προκύπτει ως προς \( x \).
3. Περιορισμοί στο \( y \): Οι συνθήκες που προκύπτουν για να υπάρχει πραγματική λύση ως προς \( x \) (π.χ. διακρίνουσα \( \Delta \geq 0 \), παρονομαστής \( \neq 0 \), κ.λπ.) αποτελούν τους περιορισμούς του συνόλου τιμών.
4. Συμπληρωματικός Έλεγχος: Εξετάζουμε αν οι αρχικοί περιορισμοί του πεδίου ορισμού \( A \) επιφέρουν επιπλέον περιορισμούς στο \( y \).

📝 Όλα τα Παραδείγματα (με όλες τις πράξεις)

🔹 Παράδειγμα 1: Γραμμική Συνάρτηση

\( f(x) = 3x - 2 \)

1 Πεδίο ορισμού: \( A = \mathbb{R} \)

2 Θέτουμε \( y = f(x) \): \( y = 3x - 2 \)

3 Λύνουμε ως προς \( x \): \( y + 2 = 3x \Rightarrow x = \frac{y+2}{3} \)

4 Έλεγχος περιορισμών: Η παράσταση ορίζεται για κάθε \( y \in \mathbb{R} \)

✅ Σύνολο τιμών: \( f(\mathbb{R}) = \mathbb{R} \)

🔹 Παράδειγμα 2: Ρητή Συνάρτηση (απαλοιφή παράγοντα)

\( f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2} \)

1 Πεδίο ορισμού: \( x \neq 2 \), \( A = \mathbb{R} \setminus \{2\} \)

2 Παραγοντοποίηση: \( x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) \)

3 Απλοποίηση: Για \( x \neq 2 \), \( f(x) = x+1 \)

4 Θέτουμε \( y = x+1 \): \( x = y-1 \)

5 Περιορισμός \( x \neq 2 \): \( y-1 \neq 2 \Rightarrow y \neq 3 \)

✅ Σύνολο τιμών: \( f(A) = \mathbb{R} \setminus \{3\} \)

🔹 Παράδειγμα 3: Ρητή με Διπλό Περιορισμό

\( f(x) = \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 1} \)

1 Πεδίο ορισμού: \( x \neq 1, x \neq -1 \), \( A = \mathbb{R} \setminus \{1, -1\} \)

2 Παραγοντοποίηση: \( x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2) \), \( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \)

3 Απλοποίηση: Για \( x \neq 1 \), \( f(x) = \frac{x+2}{x+1} \)

4 Θέτουμε \( y = \frac{x+2}{x+1} \): \( y(x+1) = x+2 \Rightarrow yx + y = x+2 \Rightarrow x(y-1) = 2 - y \)

5 Περίπτωση \( y=1 \): \( 0 \cdot x = 1 \) αδύνατο → \( y \neq 1 \)

6 Για \( y \neq 1 \): \( x = \frac{2-y}{y-1} \). Έλεγχος \( x \neq -1 \): \( \frac{2-y}{y-1} \neq -1 \) → ισχύει πάντα.

✅ Σύνολο τιμών: \( f(A) = \mathbb{R} \setminus \{1\} \)

🔹 Παράδειγμα 4: Ρητή με Τετραγωνικό Παρονομαστή

\( f(x) = \frac{2x-1}{x^2+x+1} \)

1 Πεδίο ορισμού: \( x^2+x+1 = 0 \) → Δ = -3 < 0 → \( A = \mathbb{R} \)

2 Θέτουμε \( y = \frac{2x-1}{x^2+x+1} \): \( yx^2 + (y-2)x + (y+1) = 0 \)

3 Για \( y=0 \): \( -2x+1=0 \Rightarrow x=\frac12 \) δεκτό.

4 Για \( y \neq 0 \): Δ = \( (y-2)^2 - 4y(y+1) = -3y^2 - 8y + 4 \geq 0 \)

5 Λύνουμε \( 3y^2 + 8y - 4 \leq 0 \): Ρίζες \( y = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{3} \)

y	(-∞, y₁)	y₁	(y₁, y₂)	y₂	(y₂, ∞)
3y²+8y-4	+	0	−	0	+

6 Λύση: \( y \in \left[ \frac{-4-2\sqrt{7}}{3}, \frac{-4+2\sqrt{7}}{3} \right] \)

✅ Σύνολο τιμών: \( f(\mathbb{R}) = \left[ \frac{-4-2\sqrt{7}}{3}, \frac{-4+2\sqrt{7}}{3} \right] \)

🔹 Παράδειγμα 5: Τριώνυμο

\( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \)

1 Πεδίο ορισμού: \( A = \mathbb{R} \)

2 Θέτουμε \( y = 2x^2 - 4x + 1 \): \( 2x^2 - 4x + (1-y) = 0 \)

3 Διακρίνουσα: \( \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (1-y) = 16 - 8 + 8y = 8 + 8y \)

4 Απαίτηση \( \Delta \geq 0 \): \( 8 + 8y \geq 0 \Rightarrow y \geq -1 \)

✅ Σύνολο τιμών: \( f(\mathbb{R}) = [-1, +\infty) \)

🔹 Παράδειγμα 6: Τμηματικά Ορισμένη Συνάρτηση

\( f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 0 \\ 2x, & x \geq 0 \end{cases} \)

1 Κλάδος \( x < 0 \): \( f(x)=x^2 \), με \( x < 0 \) → \( x^2 > 0 \) (παίρνει όλες τις θετικές τιμές) → \( (0, +\infty) \)

2 Κλάδος \( x \geq 0 \): \( f(0)=0 \). Για \( x > 0 \), \( y=2x \Rightarrow x=y/2 > 0 \Rightarrow y > 0 \) → \( [0, +\infty) \)

3 Ένωση: \( (0, +\infty) \cup [0, +\infty) = [0, +\infty) \)

✅ Σύνολο τιμών: \( f(\mathbb{R}) = [0, +\infty) \)

🔹 Παράδειγμα 7: Συνάρτηση με Ρίζα

\( f(x) = \sqrt{x-1} + 2 \), \( A = [1, +\infty) \)

1 Πεδίο ορισμού: \( x \geq 1 \) → \( A = [1, +\infty) \)

2 Θέτουμε: \( y = \sqrt{x-1} + 2 \)

3 Λύνουμε ως προς \( x \): \( y - 2 = \sqrt{x-1} \) → \( (y-2)^2 = x-1 \) → \( x = (y-2)^2 + 1 \)

4 Περιορισμοί: Πρέπει \( y-2 \geq 0 \) (αφού ρίζα) → \( y \geq 2 \). Επίσης \( x \geq 1 \): \( (y-2)^2 + 1 \geq 1 \) → ισχύει πάντα.

✅ Σύνολο τιμών: \( f(A) = [2, +\infty) \)

⚠️ Συχνά Λάθη και Πώς να τα Αποφύγετε

Λάθος	Σωστό
Ξεχνάμε να ελέγξουμε ειδικές περιπτώσεις (π.χ. \( y=0 \)) όταν μηδενίζεται ο συντελεστής του \( x^2 \)	Εξετάζουμε ξεχωριστά τις περιπτώσεις που οδηγούν σε εκφυλισμό της εξίσωσης
Παραλείπουμε τον έλεγχο των αρχικών περιορισμών του πεδίου ορισμού	Κάθε \( x \) που απαγορεύεται στο πεδίο ορισμού δίνει μια αντίστοιχη απαγορευμένη τιμή για το \( y \)
Σε τμηματικές, ξεχνάμε να ενώσουμε τα σύνολα	Πάντα στο τέλος κάνουμε ένωση των επιμέρους συνόλων τιμών κάθε κλάδου
Δεν χρησιμοποιούμε πίνακα προσήμου για δευτεροβάθμιες ανισώσεις	Ο πίνακας προσήμου είναι απαραίτητος για να βρούμε το σωστό διάστημα τιμών

✏️ Όλες οι Ασκήσεις

📝 Οδηγία: Λύστε τις παρακάτω ασκήσεις σε ξεχωριστό τετράδιο ή χαρτί. Στη συνέχεια, ελέγξτε τις απαντήσεις σας στο τέλος της σελίδας.

🔸 Ομάδα 1 (Απλές)

i) \( f(x) = 3x - 2 \), \( A = \{-1, 0, 1, 2\} \)

ii) \( f(x) = x^2 + 1 \), \( A = \{-2, -1, 0, 1, 2\} \)

iii) \( f(x) = \frac{1}{x} \), \( A = \{-2, -1, 1, 2\} \)

iv) \( f(x) = \sqrt{x} \), \( A = \{0, 1, 4, 9\} \)

🔸 Ομάδα 2 (Ρητές - Τριώνυμα)

α) \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \) (πλήρες \( \mathbb{R} \))

β) \( f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} \)

γ) \( f(x) = \frac{2x+1}{x^2+1} \)

δ) \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \)

🔸 Ομάδα 3 (Τμηματικά ορισμένες)

α) \( f(x) = \begin{cases} -x + 2, & x \leq 1 \\ x^2, & x > 1 \end{cases} \)

β) \( f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & x < 0 \\ 3 - x, & x \geq 0 \end{cases} \)

🔸 Επιπλέον Ασκήσεις για Εξάσκηση

1) \( f(x) = \frac{1}{x^2+1} \), \( A = \mathbb{R} \)

2) \( f(x) = \frac{x}{x^2+1} \), \( A = \mathbb{R} \)

3) \( f(x) = 2x + 1 \), \( A = [-3, 5] \)

4) \( f(x) = \frac{x^2-1}{x-1} \), \( A = \mathbb{R}\setminus\{1\} \)

📌 Απαντήσεις για Αυτοέλεγχο

Ομάδα 1:
(i) \( f(A) = \{-5, -2, 1, 4\} \)
(ii) \( f(A) = \{1, 2, 5\} \)
(iii) \( f(A) = \{-\frac{1}{2}, -1, 1, \frac{1}{2}\} \)
(iv) \( f(A) = \{0, 1, 2, 3\} \)

Ομάδα 2:
(α) \( f(\mathbb{R}) = [-1, +\infty) \)
(β) \( f(A) = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \)
(γ) \( f(\mathbb{R}) = \left[ \frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right] \)
(δ) \( f(A) = \mathbb{R} \setminus \{4\} \)

Ομάδα 3:
(α) \( f(\mathbb{R}) = [1, +\infty) \)
(β) \( f(\mathbb{R}) = \mathbb{R} \)

Επιπλέον Ασκήσεις:
(1) \( (0, 1] \)  |  (2) \( \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] \)
(3) \( [-5, 11] \)  |  (4) \( \mathbb{R}\setminus\{2\} \)

📊 Σύνοψη

Σε αυτό το μάθημα μάθαμε:

• Τι είναι το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης και πώς συμβολίζεται.
• Τη μεθοδολογία εύρεσης συνόλου τιμών χωρίς μονοτονία και όρια, μέσω της επίλυσης της εξίσωσης \( y = f(x) \) ως προς \( x \).
• Να ελέγχουμε τις συνθήκες ύπαρξης πραγματικών ριζών (π.χ. \( \Delta \geq 0 \), παρονομαστές, ρίζες).
• Να ενώνουμε τα σύνολα τιμών σε τμηματικές συναρτήσεις.
• Να αποφεύγουμε συχνά λάθη στην εφαρμογή της μεθόδου.

---

© 2026 Μαθηματικά Λυκείου | Σύνολο Τιμών Συνάρτησης — Θεωρία, Μεθοδολογία & Ασκήσεις