Συναρτήσεις: Ορισμός, Πεδίο Ορισμού, Βασικές Έννοιες & Ασκήσεις

📚 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Ορισμός | Βασικές Έννοιες | Πεδίο Ορισμού | Λυμένα Παραδείγματα | Ασκήσεις

📖 ΜΕΡΟΣ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Ορισμός Συνάρτησης
Συνάρτηση \( f \) από ένα σύνολο \( A \) σε ένα σύνολο \( B \) (συμβολισμός \( f : A \to B \)) ονομάζουμε κάθε διαδικασία (κανόνα) με την οποία αντιστοιχίζουμε τα στοιχεία του \( A \) με τα στοιχεία του \( B \) ώστε να ικανοποιούνται οι παρακάτω δύο νόμοι:

1. Κάθε στοιχείο του \( A \) αντιστοιχίζεται.
2. Σε ένα και μόνο ένα στοιχείο του \( B \).

📌 Ειδική Περίπτωση: Πραγματικές Συναρτήσεις
Στο πλαίσιο του μαθήματος, όταν αναφερόμαστε σε «συνάρτηση» χωρίς να ορίζουμε ρητά το σύνολο άφιξης, εννοούμε πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής:

$$f : A \to \mathbb{R}, \quad \text{όπου } A \subseteq \mathbb{R}$$

Δηλαδή, το σύνολο άφιξης θεωρείται πάντα \( B = \mathbb{R} \), εκτός αν ορίζεται διαφορετικά.

🔹 Οπτική Απεικόνιση Αντιστοιχίσεων

✓ ΕΙΝΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Κάθε \( x \in A \) έχει ακριβώς ένα βέλος προς το \( B \)

✗ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Το \( 4 \in A \) δεν αντιστοιχίζεται σε κανένα στοιχείο του \( B \)
(Παραβίαση 1ου νόμου)

✗ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Το \( 4 \in A \) αντιστοιχίζεται σε δύο στοιχεία του \( B \)
(Παραβίαση 2ου νόμου)

📊 Συνοπτικός Πίνακας Ελέγχου

Περίπτωση	Κατάσταση	Αποτέλεσμα
Κάθε \( x \in A \to \) ΑΚΡΙΒΩΣ ΕΝΑ \( y \in B \)	✓ ΣΩΣΤΗ	Είναι συνάρτηση
Υπάρχει \( x \in A \) που ΔΕΝ αντιστοιχίζεται	✗ ΛΑΘΟΣ	Δεν είναι συνάρτηση (1ος νόμος)
Υπάρχει \( x \in A \) που αντιστοιχίζεται σε ΔΥΟ+ \( y \in B \)	✗ ΛΑΘΟΣ	Δεν είναι συνάρτηση (2ος νόμος)

📖 ΜΕΡΟΣ 2: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ

Ανεξάρτητη & Εξαρτημένη Μεταβλητή
• Ανεξάρτητη μεταβλητή (\( x \)): Παίρνει ελεύθερα τιμές από το πεδίο ορισμού \( A \).
• Εξαρτημένη μεταβλητή (\( y \) ή \( f(x) \)): Η τιμή της καθορίζεται πλήρως από την \( x \) μέσω του τύπου.

Τιμή Συνάρτησης
Το \( f(x) \) ονομάζεται τιμή της \( f \) στο \( x \). Γράφουμε \( y = f(x) \).
Ανάγνωση: «y ίσον f του x». Σημαίνει ότι το \( x \) αντιστοιχίζεται μέσω της \( f \) με το \( y \).

Πεδίο Ορισμού, Σύνολο Άφιξης & Πεδίο Τιμών
• Πεδίο Ορισμού (\( A \)): Το σύνολο από το οποίο παίρνει τιμές η \( x \).
• Σύνολο Άφιξης (\( B \)): Το σύνολο στο οποίο «στοχεύουν» οι αντιστοιχίσεις. (Αν δεν δίνεται, θεωρούμε \( B = \mathbb{R} \)).
• Πεδίο Τιμών (\( f(A) \)): Το σύνολο όλων των πραγματικών τιμών που παίρνει η συνάρτηση. Ισχύει πάντα: \( f(A) \subseteq B \).

⚠️ Σημαντική Παρατήρηση: Καλά Ορισμένη Συνάρτηση
Για να είναι μια συνάρτηση καλά ορισμένη, πρέπει να δίνονται ρητά:
1️⃣ Το πεδίο ορισμού \( A \)
2️⃣ Το σύνολο άφιξης \( B \)
3️⃣ Ο τύπος αντιστοίχισης \( f \)
Πρακτικά: Αν δίνεται μόνο ο τύπος, το \( A \) το βρίσκουμε εμείς από τους περιορισμούς, και το \( B \) θεωρούμε \( \mathbb{R} \).

🔹 Τύπος Συνάρτησης

Ο τύπος είναι η αλγεβρική παράσταση του \( x \) που περιγράφει τον κανόνα αντιστοίχισης: \( y = f(x) \).
Παράδειγμα: Αν \( f(x) = 2x^2 + 1 \), τότε για \( x = 3 \) → \( f(3) = 2 \cdot 3^2 + 1 = 19 \).

📖 ΜΕΡΟΣ 3: ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Ορισμός Πεδίου Ορισμού
Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης ονομάζουμε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του \( \mathbb{R} \) στο οποίο ο τύπος της συνάρτησης έχει μαθηματικό νόημα (ορίζεται).

📜 Κανόνες Εύρεσης Πεδίου Ορισμού

Τύπος Συνάρτησης	Πεδίο Ορισμού	Παράδειγμα
Πολυωνυμική	ℝ	\( f(x)=x^3-2x+1 \) → \( A=\mathbb{R} \)
Ρητή (κλάσμα)	παρονομαστής ≠ 0	\( f(x)=\frac{1}{x-2} \) → \( A=\mathbb{R}\setminus\{2\} \)
\( f(x)=\sqrt{g(x)} \) (άρτια ρίζα)	\( g(x) \geq 0 \)	\( f(x)=\sqrt{x-3} \) → \( A=[3,+\infty) \)
\( f(x)=\ln(g(x)) \)	\( g(x) > 0 \)	\( f(x)=\ln(x+5) \) → \( A=(-5,+\infty) \)
\( f(x)=a^{g(x)}, \; a>0 \)	ℝ	\( f(x)=2^{x^2-1} \) → \( A=\mathbb{R} \)
\( f(x)=[g(x)]^{h(x)} \)	\( g(x) > 0 \)	\( f(x)=(x-1)^x \) → \( A=(1,+\infty) \)
\( f(x)=\text{ημ}(g(x)), \; \text{συν}(g(x)) \)	ℝ	\( f(x)=\text{ημ}(3x) \) → \( A=\mathbb{R} \)
\( f(x)=\text{εφ}(g(x)) \)	\( g(x) \neq \frac{\pi}{2} + \kappa\pi \)	\( f(x)=\text{εφ}(2x) \) → \( x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\kappa\pi}{2} \)
\( f(x)=\text{σφ}(g(x)) \)	\( g(x) \neq \kappa\pi \)	\( f(x)=\text{σφ}(4x) \) → \( x \neq \frac{\kappa\pi}{4} \)

📝 ΜΕΡΟΣ 4: ΟΛΑ ΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

🔸 Παράδειγμα 1: Εύρεση Τιμών & Πεδίου Τιμών

\( f(x) = 2x^2 + 1 \), με \( A = \{-1, 0, 1, 2\} \), \( B = \{0, 1, 2, \dots, 10\} \)

1 Υπολογίζω: \( f(-1) = 2(-1)^2 + 1 = 3 \)

2 Υπολογίζω: \( f(0) = 1 \)

3 Υπολογίζω: \( f(1) = 3 \)

4 Υπολογίζω: \( f(2) = 9 \)

✅ Απάντηση: \( f(A) = \{1, 3, 9\} \)

🔸 Παράδειγμα 2: Πολυωνυμική

\( f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5 \) → ✅ \( A = \mathbb{R} \)

🔸 Παράδειγμα 3: Ρητή

\( f(x) = \frac{2x+1}{x^2-5x+6} \)

1 Περιορισμός: \( x^2 - 5x + 6 \neq 0 \)

2 Λύνω: \( x \neq 2, \; x \neq 3 \)

✅ Απάντηση: \( A = \mathbb{R} \setminus \{2, 3\} \)

🔸 Παράδειγμα 4: Ρίζα

\( f(x) = \sqrt{x^2-4} \)

1 Περιορισμός: \( x^2 - 4 \geq 0 \)

2 Λύνω: \( x \leq -2 \) ή \( x \geq 2 \)

✅ Απάντηση: \( A = (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) \)

🔸 Παράδειγμα 5: Λογάριθμος

\( f(x) = \ln(x^2-3x+2) \)

1 Περιορισμός: \( x^2 - 3x + 2 > 0 \)

2 Λύνω: \( x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty) \)

✅ Απάντηση: \( A = (-\infty, 1) \cup (2, +\infty) \)

🔸 Παράδειγμα 6: Σύνθετος

\( f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x-3} \)

1 Περιορισμοί: \( x-1 \geq 0 \) και \( x-3 \neq 0 \)

2 Λύνω: \( x \geq 1 \) και \( x \neq 3 \)

✅ Απάντηση: \( A = [1, 3) \cup (3, +\infty) \)

🔸 Παράδειγμα 7: Μεταβλητή Βάση

\( f(x) = (x+2)^x \) → \( x+2 > 0 \) → ✅ \( A = (-2, +\infty) \)

🔸 Παράδειγμα 8: Τριγωνομετρική

\( f(x) = \text{εφ}(2x) \) → \( 2x \neq \frac{\pi}{2} + \kappa\pi \)

1 Λύνω ως προς \( x \): \( x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\kappa\pi}{2} \)

✅ Απάντηση: \( A = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{\kappa\pi}{2}, \; \kappa \in \mathbb{Z} \right\} \)

⚠️ ΤΙ ΝΑ ΠΡΟΣΕΧΕΙΣ — ΣΥΧΝΑ ΛΑΘΗ

Λάθος	Σωστό
Σε ρίζα βάζουμε \( \text{υπόρριζο} > 0 \) αντί για \( \geq 0 \)	Σε ρίζα άρτιας τάξης: \( \text{υπόρριζο} \geq 0 \)
Σε λογάριθμο βάζουμε \( \text{όρισμα} \geq 0 \) αντί για \( > 0 \)	Σε λογάριθμο: \( \text{όρισμα} > 0 \)
Ξεχνάμε να ελέγξουμε τον παρονομαστή σε κλάσματα	Πάντα \( \text{παρονομαστής} \neq 0 \)
Σε τμηματικές ξεχνάμε να ενώσουμε τα σύνολα	Πάντα κάνουμε ένωση των πεδίων κάθε κλάδου
Σε εκθετική μεταβλητή βάση ξεχνάμε \( \text{βάση} > 0 \)	\( f(x)=[g(x)]^{h(x)} \) → \( g(x) > 0 \)

✏️ ΟΛΕΣ ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

📝 Οδηγία: Λύστε τις παρακάτω ασκήσεις σε ξεχωριστό τετράδιο ή χαρτί. Για τις ανισώσεις, κατασκευάστε πίνακα προσήμου. Στη συνέχεια, ελέγξτε τις απαντήσεις σας στο τέλος της σελίδας.

🔸 1. Σύνολο Τιμών

α) \( f(x) = 3x - 2 \), \( A = \{-1, 0, 1, 2\} \)

β) \( f(x) = x^2 + 1 \), \( A = \{-2, -1, 0, 1, 2\} \)

γ) \( f(x) = \frac{1}{x} \), \( A = \{-1, 2, 3, 4\} \)

δ) \( f(x) = \sqrt{x} \), \( A = \{0, 1, 4, 9\} \)

🔸 2. Πεδίο Ορισμού (Βασικά)

α) \( f(x) = \frac{2x+1}{x^2-4} \)

β) \( f(x) = \sqrt{3x-6} \)

γ) \( f(x) = \ln(5-x) \)

δ) \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-2}} \)

🔸 3. Πεδίο Ορισμού (Ενδιάμεσο)

α) \( f(x) = \sqrt{x^2-9} \)

β) \( f(x) = \ln(x^2-1) \)

γ) \( f(x) = \frac{\sqrt{x+3}}{x-2} \)

δ) \( f(x) = \frac{1}{\ln x} \)

🔸 4. Πεδίο Ορισμού (Τριγωνομετρικές & Εκθετικές)

α) \( f(x) = \sqrt{\frac{x-2}{x+1}} \)

β) \( f(x) = (x-1)^x \)

γ) \( f(x) = \text{εφ}(3x) \)

δ) \( f(x) = \frac{1}{\text{συν } x} \)

🔸 5. Πεδίο Ορισμού (Σύνθετες)

α) \( f(x) = \sqrt{\ln(x-1)} \)

β) \( f(x) = \ln\big(\sqrt{x-2}\big) \)

γ) \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-4}} + \ln(x+1) \)

δ) \( f(x) = \frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2-x-2} \)

📌 Απαντήσεις για Αυτοέλεγχο

1. Σύνολο Τιμών:
(α) \( f(A) = \{-5, -2, 1, 4\} \)  |  (β) \( f(A) = \{1, 2, 5\} \)
(γ) \( f(A) = \left\{-1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}\right\} \)  |  (δ) \( f(A) = \{0, 1, 2, 3\} \)

2. Πεδίο Ορισμού (Βασικά):
(α) \( \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} \)  |  (β) \( [2, +\infty) \)
(γ) \( (-\infty, 5) \)  |  (δ) \( (2, +\infty) \)

3. Πεδίο Ορισμού (Ενδιάμεσο):
(α) \( (-\infty, -3] \cup [3, +\infty) \)  |  (β) \( (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \)
(γ) \( [-3, 2) \cup (2, +\infty) \)  |  (δ) \( (0, 1) \cup (1, +\infty) \)

4. Πεδίο Ορισμού (Τριγωνομετρικές & Εκθετικές):
(α) \( (-\infty, -1) \cup [2, +\infty) \)  |  (β) \( (1, +\infty) \)
(γ) \( \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{6} + \frac{\kappa\pi}{3}\right\} \)  |  (δ) \( \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + \kappa\pi\right\} \)

5. Πεδίο Ορισμού (Σύνθετες):
(α) \( [2, +\infty) \)  |  (β) \( (3, +\infty) \)
(γ) \( (-1, 2) \cup (2, +\infty) \)  |  (δ) \( [-2, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, 2] \)

🎯 ΤΙ ΜΑΘΑΜΕ ΣΕ ΑΥΤΟ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

• Ορισμός συνάρτησης: Μια αντιστοιχία όπου κάθε \( x \in A \) αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνο ένα \( y \in B \).
• Πραγματικές συναρτήσεις: \( f : A \to \mathbb{R} \), όπου \( A \subseteq \mathbb{R} \).
• Ανεξάρτητη (\( x \)) και εξαρτημένη (\( y \)) μεταβλητή.
• Πεδίο ορισμού: Το σύνολο των \( x \) για τα οποία ο τύπος έχει νόημα.
• Πεδίο τιμών: Το σύνολο των \( f(x) \) για όλα τα \( x \in A \).
• Κανόνες εύρεσης πεδίου ορισμού:
  • Παρονομαστής \( \neq 0 \)
  • Υπόρριζο \( \geq 0 \) (άρτια ρίζα)
  • Όρισμα λογαρίθμου \( > 0 \)
  • Βάση σε μεταβλητή εκθετική \( > 0 \)
  • Εφαπτομένη: \( g(x) \neq \frac{\pi}{2} + \kappa\pi \)
  • Συνεφαπτομένη: \( g(x) \neq \kappa\pi \)
• Καλά ορισμένη συνάρτηση: Χρειάζονται \( A \), \( B \) και \( f \).

📊 Σύνοψη & Βασική Αρχή

⚠️ ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ:

• Μια συνάρτηση είναι καλά ορισμένη μόνο όταν δίνονται ρητά: πεδίο ορισμού, σύνολο άφιξης και τύπος.
• Το πεδίο ορισμού προκύπτει από τους περιορισμούς του τύπου (παρονομαστής \( \neq 0 \), υπόρριζο \( \geq 0 \), όρισμα λογαρίθμου \( > 0 \), γωνίες εφαπτομένης \( \neq \frac{\pi}{2}+\kappa\pi \), κ.λπ.).
• Το σύνολο τιμών είναι πάντα υποσύνολο του συνόλου άφιξης: \( f(A) \subseteq B \).
• Η ανεξάρτητη μεταβλητή \( x \) παίρνει τιμές από το πεδίο ορισμού. Η εξαρτημένη \( y = f(x) \) υπολογίζεται από τον τύπο.

🌟 Βασική Αρχή:
Η γραφή \( f : A \to B \) σημαίνει: Για κάθε \( x \in A \) υπάρχει ένα και μόνο ένα \( y \in B \) τέτοιο ώστε \( y = f(x) \).

© 2026 Μαθηματικά Λυκείου | Εμπλουτισμένο Υλικό: Ορισμός, Βασικές Έννοιες, Πεδίο Ορισμού, Λυμένα Παραδείγματα & Ασκήσεις