Πεδίο Ορισμού Συνάρτησης — Θεωρία, Παραδείγματα & Ασκήσεις

📚 ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Θεωρία | Αναλυτικά Παραδείγματα με Πίνακες Προσήμου | Ασκήσεις προς Λύση

📖 ΘΕΩΡΙΑ

Ορισμός Πεδίου Ορισμού
Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης \( f \) ονομάζουμε το ευρύτερο υποσύνολο του \( \mathbb{R} \) στο οποίο η συνάρτηση ορίζεται — δηλαδή το σύνολο όλων των τιμών του \( x \) για τις οποίες ο τύπος της \( f \) έχει μαθηματικό νόημα.

Πρακτικά: Το πεδίο ορισμού δεν είναι πάντα το \( \mathbb{R} \)! Εξαρτάται από τον τύπο της συνάρτησης. Κάθε μαθηματική πράξη (κλάσμα, ρίζα, λογάριθμος, τριγωνομετρική) έχει τους δικούς της περιορισμούς. Παρακάτω βλέπουμε αναλυτικά τους κανόνες για κάθε περίπτωση.

📋 Πίνακας Περιορισμών Πεδίου Ορισμού

Τύπος Συνάρτησης	Περιορισμοί	Πεδίο Ορισμού \( A \)
\( f(x) = a_\nu x^\nu + \dots + a_1 x + a_0 \)	Δεν υπάρχουν περιορισμοί	\( A = \mathbb{R} \)
\( f(x) = \frac{1}{g(x)} \)	\( g(x) \neq 0 \)	\( A = \{ x \in \mathbb{R} \mid g(x) \neq 0 \} \)
\( f(x) = \sqrt{\;g(x)\;} \)	\( g(x) \geq 0 \) (για ρίζα άρτιας τάξης)	\( A = \{ x \in \mathbb{R} \mid g(x) \geq 0 \} \)
\( f(x) = \ln g(x) \)	\( g(x) > 0 \)	\( A = \{ x \in \mathbb{R} \mid g(x) > 0 \} \)
\( f(x) = a^{g(x)}, \; a>0 \)	Δεν υπάρχουν περιορισμοί	\( A = \mathbb{R} \)
\( f(x) = [g(x)]^{h(x)} \)	\( g(x) > 0 \) (βάση θετική)	\( A = \{ x \in \mathbb{R} \mid g(x) > 0 \} \)
\( f(x) = \eta\mu(g(x)) \)	\( g(x) \in \mathbb{R} \)	\( A = \{ x \in \mathbb{R} \mid g(x) \in \mathbb{R} \} \)
\( f(x) = \sigma\upsilon\nu(g(x)) \)	\( g(x) \in \mathbb{R} \)	\( A = \{ x \in \mathbb{R} \mid g(x) \in \mathbb{R} \} \)
\( f(x) = \varepsilon\varphi(g(x)) \)	\( g(x) \neq \frac{\pi}{2} + \kappa\pi, \; \kappa \in \mathbb{Z} \)	\( A = \{ x \in \mathbb{R} \mid g(x) \neq \frac{\pi}{2} + \kappa\pi \} \)
\( f(x) = \sigma\varphi(g(x)) \)	\( g(x) \neq \kappa\pi, \; \kappa \in \mathbb{Z} \)	\( A = \{ x \in \mathbb{R} \mid g(x) \neq \kappa\pi \} \)

📋 Πολυκλαδικές Συναρτήσεις

Περίπτωση	Μεθοδολογία	Πεδίο Ορισμού \( A \)
\( f(x) = \begin{cases} f_1(x), & x \in A_1 \\ f_2(x), & x \in A_2 \\ \dots \end{cases} \)	Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού κάθε κλάδου ξεχωριστά Το συνολικό πεδίο ορισμού είναι η ένωση των πεδίων ορισμού όλων των κλάδων	\( A = A_1 \cup A_2 \cup \dots \)

📌 ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ: Στις πολυκλαδικές συναρτήσεις το πεδίο ορισμού είναι η ένωση των πεδίων κάθε κλάδου.

📝 ΟΛΑ ΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ (1-15)

🔹 Παράδειγμα 1: Πολυωνυμική συνάρτηση

\( f(x) = 2x^3 - 5x + 1 \)

1 Αναγνώριση: Είναι πολυωνυμική συνάρτηση.

2 Κανόνας: Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις δεν έχουν περιορισμούς.

🔍 Περιορισμός: Κανένας

✅ Λύση: \( A = \mathbb{R} \)

🔹 Παράδειγμα 2: Ρητή συνάρτηση (κλάσμα)

\( f(x) = \frac{2x+1}{x-3} \)

1 Αναγνώριση: Είναι ρητή συνάρτηση (κλάσμα).

2 Κανόνας: Σε ένα κλάσμα, ο παρονομαστής ≠ 0.

3 Εφαρμογή: \( x - 3 \neq 0 \)

🔍 Περιορισμός: \( x \neq 3 \)

✅ Λύση: \( A = \mathbb{R} \setminus \{3\} \)

🔹 Παράδειγμα 3: Συνάρτηση με ρίζα

\( f(x) = \sqrt{2x-5} \)

1 Αναγνώριση: Περιέχει τετραγωνική ρίζα.

2 Κανόνας: Σε ρίζα άρτιας τάξης, το υπόρριζο ≥ 0.

3 Εφαρμογή: \( 2x - 5 \geq 0 \)

🔍 Περιορισμός: \( x \geq \frac{5}{2} \)

✅ Λύση: \( A = \left[\frac{5}{2}, +\infty\right) \)

🔹 Παράδειγμα 4: Λογαριθμική συνάρτηση

\( f(x) = \ln(4 - x) \)

1 Αναγνώριση: Είναι λογαριθμική συνάρτηση.

2 Κανόνας: Σε λογάριθμο, το όρισμα > 0.

3 Εφαρμογή: \( 4 - x > 0 \)

🔍 Περιορισμός: \( x < 4 \)

✅ Λύση: \( A = (-\infty, 4) \)

🔹 Παράδειγμα 5: Λογάριθμος τριωνύμου (με πίνακα προσήμου)

\( f(x) = \ln(x^2 - 5x + 6) \)

1 Περιορισμός: \( x^2 - 5x + 6 > 0 \)

2 Ρίζες τριωνύμου: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow x = 2, \; x = 3 \)

3 Πίνακας προσήμου:

x	(-∞, 2)	2	(2, 3)	3	(3, +∞)
\( x^2-5x+6 \)	+	0	-	0	+

4 Λύση ανίσωσης: \( x < 2 \) ή \( x > 3 \)

🔍 Περιορισμός: \( x^2 - 5x + 6 > 0 \) → \( x < 2 \) ή \( x > 3 \)

✅ Λύση: \( A = (-\infty, 2) \cup (3, +\infty) \)

🔹 Παράδειγμα 6: Ρητή ανίσωση (με πίνακα προσήμου)

\( f(x) = \sqrt{\frac{x-5}{x+3}} \)

1 Περιορισμός: \( \frac{x-5}{x+3} \geq 0 \) και \( x \neq -3 \)

2 Ρίζες αριθμητή: \( x = 5 \)
Ρίζες παρονομαστή: \( x = -3 \) (αποκλείεται)

3 Πίνακας προσήμου:

x	(-∞, -3)	-3	(-3, 5)	5	(5, +∞)
x-5	-	-	-	0	+
x+3	-	0	+	+	+
κλάσμα	+	δεν ορ.	-	0	+

4 Λύση: \( \frac{x-5}{x+3} \geq 0 \) → \( x < -3 \) ή \( x \geq 5 \)

🔍 Περιορισμός: \( x < -3 \) ή \( x \geq 5 \)

✅ Λύση: \( A = (-\infty, -3) \cup [5, +\infty) \)

🔹 Παράδειγμα 7: Σύνθετη ρίζα (διπλός περιορισμός)

\( f(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 2} \)

1 Περιορισμός: \( x^2 - 3x + 2 \geq 0 \)

2 Ρίζες τριωνύμου: \( x^2 - 3x + 2 = 0 \Rightarrow x = 1, \; x = 2 \)

3 Πίνακας προσήμου:

x	(-∞, 1)	1	(1, 2)	2	(2, +∞)
\( x^2-3x+2 \)	+	0	-	0	+

4 Λύση: \( x \leq 1 \) ή \( x \geq 2 \)

✅ Λύση: \( A = (-\infty, 1] \cup [2, +\infty) \)

🔹 Παράδειγμα 8: Άθροισμα ριζών (σύστημα)

\( f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{x-2} \)

1 Περιορισμός 1: \( x \geq 0 \)

2 Περιορισμός 2: \( x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \)

3 Τομή: \( x \geq 2 \)

✅ Λύση: \( A = [2, +\infty) \)

🔹 Παράδειγμα 9: Κλάσμα με ρίζα

\( f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x-3} \)

1 Από ρίζα: \( x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \)

2 Από παρονομαστή: \( x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \)

3 Τομή: \( x \geq 1 \) και \( x \neq 3 \)

✅ Λύση: \( A = [1, 3) \cup (3, +\infty) \)

🔹 Παράδειγμα 10: Πολυκλαδική συνάρτηση

\( f(x) = \begin{cases} \sqrt{x-1}, & x \geq 1 \\ \frac{1}{x}, & x < 1 \end{cases} \)

1 Κλάδος 1: \( \sqrt{x-1} \) → \( x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \), με \( x \geq 1 \) → \( x \geq 1 \)

2 Κλάδος 2: \( \frac{1}{x} \) → \( x \neq 0 \), με \( x < 1 \) → \( (-\infty, 0) \cup (0, 1) \)

3 Ένωση: \( [1, +\infty) \cup (-\infty, 0) \cup (0, 1) = \mathbb{R} \setminus \{0\} \)

✅ Λύση: \( A = \mathbb{R} \setminus \{0\} \)

🔹 Παράδειγμα 11: Εφαπτομένη (με πίνακα)

\( f(x) = \varepsilon\varphi(2x) \)

1 Περιορισμός: \( 2x \neq \frac{\pi}{2} + \kappa\pi, \kappa \in \mathbb{Z} \)

2 Λύση: \( x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\kappa\pi}{2} \)

✅ Λύση: \( A = \mathbb{R} \setminus \left\{ x \in \mathbb{R} \;|\; x = \frac{\pi}{4} + \frac{\kappa\pi}{2}, \kappa \in \mathbb{Z} \right\} \)

🔹 Παράδειγμα 12: Σύνθετη λογαριθμική (με πίνακα)

\( f(x) = \frac{\ln(x^2 - 1)}{x^2 - 4} \)

1 Από λογάριθμο: \( x^2 - 1 > 0 \Rightarrow x < -1 \) ή \( x > 1 \)

2 Πίνακας για \( x^2-1>0 \):

x	(-∞, -1)	-1	(-1, 1)	1	(1, +∞)
\( x^2-1 \)	+	0	-	0	+

3 Από παρονομαστή: \( x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2 \)

4 Τομή: \( (x < -1 \text{ ή } x > 1) \) και \( x \neq \pm 2 \)

✅ Λύση: \( A = (-\infty, -2) \cup (-2, -1) \cup (1, 2) \cup (2, +\infty) \)

🔹 Παράδειγμα 13: Συνάρτηση με απόλυτη τιμή

\( f(x) = \frac{3x}{2 - 6|x|} \)

1 Περιορισμός: \( 2 - 6|x| \neq 0 \)

2 Επίλυση: \( 6|x| \neq 2 \Rightarrow |x| \neq \frac{1}{3} \)

3 Λύση: \( x \neq \frac{1}{3} \) και \( x \neq -\frac{1}{3} \)

✅ Λύση: \( A = \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right\} \)

🔹 Παράδειγμα 14: Εκθετική μεταβλητή βάση

\( f(x) = (x+2)^{x} \)

1 Περιορισμός: \( x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2 \)

✅ Λύση: \( A = (-2, +\infty) \)

🔹 Παράδειγμα 15: Πολυκλαδική με 3 κλάδους

\( f(x) = \begin{cases} \sqrt{x+2}, & x \leq -1 \\ \frac{1}{x}, & -1 < x < 1 \\ x^2-4, & x \geq 1 \end{cases} \)

1 Κλάδος 1: \( \sqrt{x+2} \) → \( x+2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2 \), με \( x \leq -1 \) → \( [-2, -1] \)

2 Κλάδος 2: \( \frac{1}{x} \) → \( x \neq 0 \), με \( -1 < x < 1 \) → \( (-1, 0) \cup (0, 1) \)

3 Κλάδος 3: \( x^2-4 \) → ορίζεται για \( x \geq 1 \)

4 Ένωση: \( [-2, -1] \cup (-1, 0) \cup (0, 1) \cup [1, +\infty) = [-2, 0) \cup (0, +\infty) \)

✅ Λύση: \( A = [-2, 0) \cup (0, +\infty) \)

⚠️ Συχνά Λάθη και Πώς να τα Αποφύγετε

Λάθος	Σωστό
Ξεχνάμε να ελέγξουμε τον παρονομαστή σε κλάσματα	Πάντα \( \text{παρονομαστής} \neq 0 \)
Σε ρίζα βάζουμε \( \text{υπόρριζο} > 0 \) αντί για \( \geq 0 \)	Σε ρίζα άρτιας τάξης: \( \text{υπόρριζο} \geq 0 \)
Σε λογάριθμο βάζουμε \( \text{όρισμα} \geq 0 \) αντί για \( > 0 \)	Σε λογάριθμο: \( \text{όρισμα} > 0 \)
Σε τμηματικές ξεχνάμε να ενώσουμε τα σύνολα	Πάντα κάνουμε ένωση των πεδίων κάθε κλάδου
Δεν χρησιμοποιούμε πίνακα προσήμου σε ανισώσεις	Ο πίνακας προσήμου είναι απαραίτητος για ανισώσεις

✏️ ΟΛΕΣ ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (16-40)

📝 Οδηγία: Λύστε τις παρακάτω ασκήσεις σε ξεχωριστό τετράδιο ή χαρτί. Για τις ανισώσεις, κατασκευάστε πίνακα προσήμου. Στη συνέχεια, ελέγξτε τις απαντήσεις σας στο τέλος της σελίδας.

🔸 16. Ρητές συναρτήσεις

16α)\( f(x) = \frac{3x - 1}{x^2 - 5x + 6} \)

16β) \( f(x) = \frac{2x}{x^3 - 4x} \)

16γ) \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^3 + 2x^2 - 3x} \)

16δ) \( f(x) = \frac{5}{x^4 - 16} \)

🔸 17. Συναρτήσεις με ρίζες

17α) \( f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 4} \)

17β) \( f(x) = \sqrt{3x - x^2} \)

17γ) \( f(x) = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} \)

17δ) \( f(x) = \sqrt{2x - 1} + \sqrt{5 - x} \)

🔸 18. Λογαριθμικές συναρτήσεις

18α) \( f(x) = \ln(x^2 - 4) \)

18β) \( f(x) = \log_2(3x - 1) \)

18γ) \( f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-2}\right) \)

18δ) \( f(x) = \ln(2^x - 4) \)

🔸 19. Εκθετικές συναρτήσεις

19α) \( f(x) = \frac{1}{2^x - 8} \)

19β) \( f(x) = e^{\frac{1}{x-2}} \)

19γ) \( f(x) = (x-3)^{x} \)

19δ) \( f(x) = (2x+1)^{x^2-1} \)

🔸 20. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

20α) \( f(x) = \frac{1}{\eta\mu x - 1} \)

20β) \( f(x) = \sqrt{\sigma\upsilon\nu x} \)

20γ) \( f(x) = \varepsilon\varphi(2x - \frac{\pi}{4}) \)

20δ) \( f(x) = \frac{1}{\sigma\upsilon\nu x - \eta\mu x} \)

🔸 21. Συναρτήσεις με απόλυτες τιμές

21α) \( f(x) = \sqrt{|x| - 2} \)

21β) \( f(x) = \frac{1}{|x-1| - 3} \)

21γ) \( f(x) = \ln(|x| - 4) \)

21δ) \( f(x) = \sqrt{2 - |x+1|} \)

🔸 22. Σύνθετες συναρτήσεις

22α) \( f(x) = \frac{\sqrt{x+3}}{\ln(x-1)} \)

22β) \( f(x) = \frac{\ln(x^2 - 1)}{x^2 - 4} \)

22γ) \( f(x) = \sqrt{\ln(x-2)} \)

22δ) \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}} + \ln(2x - 1) \)

🔸 23. Πολυκλαδικές συναρτήσεις

23α) \( f(x) = \begin{cases} \sqrt{x-1}, & x \geq 1 \\ \frac{1}{x}, & x < 1 \end{cases} \)

23β) \( f(x) = \begin{cases} \ln(x+2), & x > -1 \\ x^2 - 4, & x \leq -1 \end{cases} \)

23γ) \( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-2}, & x < 0 \\ \sqrt{x+4}, & x \geq 0 \end{cases} \)

23δ) \( f(x) = \begin{cases} e^x, & x \leq 0 \\ \ln x, & x > 0 \end{cases} \)

🔸 24. Επιπλέον σύνθετες

24α) \( f(x) = \sqrt{x^2 - 1} + \frac{1}{x-2} \)

24β) \( f(x) = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x^2 - 3x + 2} \)

24γ) \( f(x) = \ln\left( \frac{x+2}{x-3} \right) + \sqrt{5x - x^2} \)

24δ) \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 - \ln x}} \)

🔸 25. Ασκήσεις υψηλότερης δυσκολίας

25α) \( f(x) = \sqrt{\ln(1 - x^2)} \)

25β) \( f(x) = \frac{1}{\log(1 - x)} \)

25γ) \( f(x) = \log_2(\log_3(x-1)) \)

25δ) \( f(x) = \sqrt{x - \sqrt{x}} \)

📌 Απαντήσεις για Αυτοέλεγχο

16. Ρητές:
(α) \( A = \mathbb{R} \setminus \{2, 3\} \)  |  (β) \( A = \mathbb{R} \setminus \{-2, 0, 2\} \)
(γ) \( A = \mathbb{R} \setminus \{-3, 0, 1\} \)  |  (δ) \( A = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} \)

17. Με ρίζες:
(α) \( (-\infty, 1] \cup [4, +\infty) \)  |  (β) \( [0, 3] \)
(γ) \( (-\infty, -2] \cup (1, +\infty) \)  |  (δ) \( \left[\frac{1}{2}, 5\right] \)

18. Λογαριθμικές:
(α) \( (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) \)  |  (β) \( \left(\frac{1}{3}, +\infty\right) \)
(γ) \( (-\infty, -1) \cup (2, +\infty) \)  |  (δ) \( (2, +\infty) \)

19. Εκθετικές:
(α) \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \)  |  (β) \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \)
(γ) \( (3, +\infty) \)  |  (δ) \( \left(-\frac{1}{2}, +\infty\right) \setminus \{\text{όπου μηδενίζεται ο εκθέτης}\} \)

20. Τριγωνομετρικές:
(α) \( \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + 2\kappa\pi\right\} \)  |  (β) \( \bigcup_{\kappa \in \mathbb{Z}} \left[-\frac{\pi}{2}+2\kappa\pi, \frac{\pi}{2}+2\kappa\pi\right] \)
(γ) \( \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{3\pi}{8} + \frac{\kappa\pi}{2}\right\} \)  |  (δ) \( \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{4} + \kappa\pi\right\} \)

21. Με απόλυτες:
(α) \( (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) \)  |  (β) \( \mathbb{R} \setminus \{-2, 4\} \)
(γ) \( (-\infty, -4) \cup (4, +\infty) \)  |  (δ) \( [-3, 1] \)

22. Σύνθετες:
(α) \( (1, +\infty) \)  |  (β) \( (-\infty, -2) \cup (-2, -1) \cup (1, 2) \cup (2, +\infty) \)
(γ) \( [3, +\infty) \)  |  (δ) \( \left(\frac{1}{2}, 3\right) \cup (3, +\infty) \)

23. Πολυκλαδικές:
(α) \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \)  |  (β) \( \mathbb{R} \setminus \{-2\} \)
(γ) \( (-\infty, 0) \cup [0, +\infty) = \mathbb{R} \)  |  (δ) \( (-\infty, 0] \cup (0, +\infty) = \mathbb{R} \)

24. Επιπλέον σύνθετες:
(α) \( (-\infty, -1] \cup [1, 2) \cup (2, +\infty) \)  |  (β) \( [-2, 1) \cup (1, 2] \)
(γ) \( (0, 3) \cup (3, 5] \)  |  (δ) \( (0, e^2) \setminus \{1\} \)

25. Υψηλότερης δυσκολίας:
(α) \( [-1, 0) \cup (0, 1] \)  |  (β) \( (-\infty, 0) \cup (0, 1) \)
(γ) \( (2, +\infty) \)  |  (δ) \( [1, +\infty) \)

📊 Σύνοψη

⚠️ ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ:

• Το υπόρριζο σε ρίζα άρτιας τάξης πρέπει πάντα να είναι ≥ 0.
• Ο παρονομαστής κλάσματος πρέπει πάντα να είναι ≠ 0.
• Το όρισμα λογαρίθμου πρέπει πάντα να είναι > 0.
• Σε εκθετική μεταβλητή βάση απαιτείται βάση > 0.
• Για την επίλυση ανισώσεων (τριωνύμων, κλασμάτων) χρησιμοποιούμε πίνακα προσήμου.

Σε αυτό το μάθημα μάθαμε:

• Τι είναι το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης και πώς συμβολίζεται.
• Τους βασικούς περιορισμούς: κλάσμα (\( \neq 0 \)), ρίζα (\( \geq 0 \)), λογάριθμος (\( > 0 \)).
• Να χρησιμοποιούμε πίνακα προσήμου για την επίλυση ανισώσεων.
• Να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού πολυκλαδικών συναρτήσεων (ένωση).
• Να αποφεύγουμε συχνά λάθη στην εφαρμογή της μεθόδου.

© 2026 Μαθηματικά Λυκείου | Πεδίο Ορισμού Συνάρτησης — Θεωρία, Παραδείγματα & Ασκήσεις